Açıköğretim Ders Notları

İstatistik 1 Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim

Açıköğretim ders notları öğrenciler tarafından ders çalışma esnasında hazırlanmakta olup diğer ders çalışacak öğrenciler için paylaşılmaktadır. Sizlerde hazırladığınız ders notlarını paylaşmak istiyorsanız bizlere iletebilirsiniz.

Açıköğretim derslerinden İstatistik 1 Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim için hazırlanan  ders çalışma dokümanına (ders özeti / sorularla öğrenelim) aşağıdan erişebilirsiniz. AÖF Ders Notları ile sınavlara çok daha etkili bir şekilde çalışabilirsiniz. Sınavlarınızda başarılar dileriz.

Kesikli Rassal Değişkenler Ve Bazı Kesikli Dağılımlar

1. Soru

Çalışan bir kişinin gar dolabında 3 farklı renkte pantolon, 4 farklı renkte gömlek ve 2 farklı renkte kravat vardır. Bu kişinin evden çıkarken giyebileceği kaç farklı durum vardır?

Cevap

3.4.2 = 24 farklı şekilde giyinebilir.


2. Soru

Bir kez atılan bir zar deneyinde A örnek uzayında hangi noktalar oluşur?

Cevap

A = {1,2,3,4,5,6}


3. Soru

Verideki homojenlik veya heterojenlik neyi gösterir?

Cevap

Varyans değeri büyük ise verideki değerlerin birbirinden oldukça farklı (heterojen); varyans küçük ise verideki değerlerin birbirine benzer (homojen) olduğu söylenir.


4. Soru

Sürekli rassal değişkenler için kullanılabilecek örnekler nelerdir?

Cevap

Örnekler şöyle sıralanabilir: • Öğrencilerin boy uzunlukları, • Yarışmacıların 100 metreyi koşma süreleri, • Domateslerin ağırlığı, • Rüzgarın hızı, • Havanın sıcaklığı (diğerlerinden farklı olarak negatif değerler de alır) gibi ölçme yardımıyla bulunan/hesaplanan değerler alır.


5. Soru

Bernoulli dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Cevap

İki sonucu olan bir deneyi modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır.


6. Soru

Olasılık dağılımı ne demektir?

Cevap

Olasılık dağılımı, P(X=x), X kesikli rassal değişkeninin aldığı değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkları ifade eder.


7. Soru

Bir zar ve bir para aynı anda atılıyor. Örnek uzayında kaç farklı nokta oluşur.

Cevap

Zar için 6 farklı nokta, para için (Y,T) olmak üzere 2 farklı nokta oluşur. Bu noktalar şu şekildedir: {(1,Y),(2,Y),(3,Y),(4,Y),(5,Y), (6,Y),(1,T),(2,T),(3,T), (4,T),(5,T), (6,T)}


8. Soru

Binom dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Cevap

Binom dağılımı, n tane “bağımsız ve aynı dağılımlı” Bernoulli rassal değişkeninden elde edilen başarı sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır. Burada aynı dağılımlı kelimesi, her bir Bernoulli denemesi için başarı (ya da başarısızlık) olasılığının aynı kaldığı anlamındadır.


9. Soru

Kesikli rassal değişkenin (x) alabileceği değerler nelerdir?

Cevap

Alacağı değerler şöyle sıralanabilir: • x=0,1 • x= 0,1,2,… • x= k,k+1,k+2,k+3, … gibi tam sayı değerler alırlar.


10. Soru

Verideki homojenliğin (ya da heterojenliğin) ifadesi olarak adlandırılan değere ne denir?

Cevap

Verideki homojenliğin (ya da heterojenli¤in) bir ifadesi olan değişken varyans olarak adlandırılır. V(X) sembolü ile gösterilir.


11. Soru

Poisson dağılımı kullanılarak modelleme yapılabilecek olaylara ne gibi örnekler verebiliriz?

Cevap

• Dünyaya, bir haftada (birim zaman) düşen göktaşı sayısı, • Bir kavşakta, altı ayda (birim zaman) meydana gelen trafik kazası sayısı, • Bir maden ocağında, bir yılda (birim zaman) meydana gelen ve yaralanmayla sonuçlanan kaza sayısı, • Bir metre (birim uzunluk) uzunluğunda, bir çelik halattaki üretimden kaynaklanan hata sayısı, • İki dönüm (birim alan) büyüklüğünde bir domates serasındaki hastalıklı fide sayısı, • 1/2 metreküp (birim hacim) büyüklüğünde bir akvaryumdaki hasta Japon balığı sayısı. Örneklerden de anlaşılabileceği üzere, Poisson dağılımı nadir (seyrek) gerçekleşen olayların modellenmesinde kullanılan bir dağılımıdır


12. Soru

Verinin konumunun ve değişkenliğinin ölçüsü olarak kullanılan değerler nelerdir?

Cevap

Ortalama ve varyans, sırasıyla verinin konumunun (location) ve değilkenliğinin (variation) birer ölçüsü olarak kullanılırlar. Ortalama yerine beklenen değer ifadesi de kullanılır.


13. Soru

Rassal değişken nedir?

Cevap

Rassal bir olayın (yada deneyin) sonuçlarını, sayısal değerlerle ifade eden değişkene rassal değişken (random variable) denir.


14. Soru

Poisson dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Cevap

Poisson dağılımı, olasılık ve istatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan kesikli bir dağılımdır. Bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılır. İlgilenilen aralık uzunluğu, bir “birim” olarak ifade edilirse zamanla ilgili aralıklar “birim zaman”, uzayla ilgili aralıklar ise “birim uzay” olarak ifade edilir. • Birim zamana örnek olarak; • Bir hafta, • Altı ay, • Bir yıl örnek verilebilir. • Birim uzaya örnek olarak ise; • Bir metre (uzunluk), • Bir dönüm (alan), • 1/2 metre küp (hacim) vb. örnek verilebilir.


15. Soru

Aynı anda iki zar atılıyor. Bu deney de A olayı, üste gelen sayıların toplamının 7 olması olarak tanımlansın. A olayının kümesinin elemanları nelerdir?

Cevap

A = {(1,6), (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}


16. Soru

Kesikli rassal değişkenler için kullanılabilecek örnekler nelerdir?

Cevap

• Bir kutudaki kusurlu kalem sayısı, • Atış poligonunda hedefe yapılan isabetli atış sayısı, • Bir kavşakta meydana gelen trafik kazalarının sayısı, • Para atma deneyinde tura gelinceye kadar yapılan atış sayısı, • Bir büfeye gün içinde gelen müşteri sayısı gibi tam sayı değer alan örnekler olabilir.


17. Soru

Olasılık ve İstatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan olasılık dağılımlarına örnek veriniz.

Cevap

Literatürde rassal değişkenleri modellemek için kullanılan bir çok olasılık dağılımı vardır. Olasılık dağılımları, kesikli dağılım olarak adlandırılır. Yaygın olarak kullanılan kesikli dağılımlar şöyle sıralanabilir: • Bernoulli Dağılımı, • Binom Dağılımı, • Poisson Dağılımı


18. Soru

Aşağıda tanımlanan rassal değişkenlerin hangilerinin kesikli, hangilerinin sürekli olduğunu belirleyiniz.

Cevap

1. Bir kütüphaneye gelen öğrenci sayısı: Tek tek sayılabilir. Kesikli değişkendir. 2. Bir markette para ödemek için bekleyen müşterilerin hizmet alma süresi: Hizmet alma süresini ölçerek bulmak zorunda olduğu için sürekli değişkendir. 3. Bir apartmandaki ailelerin aylık doğal gaz tüketimi: Aylık tüketimin ölçerek bulunması gerekir. Sürekli değişkendir. 4. Antalya Gazipaşa’ya havayoluyla gelen yabancı turist sayısı: Tek tek sayılabilir olduğu için kesikli değişkendir. 5. Negatif değerler alabilen sürekli rassal değişkene örnek veriniz: Hava sıcaklığı değerleri, hem negatif değerler alır, hem de ölçme yardımıyla bulunabilen değerlerdir.


19. Soru

Rassal değişkenin çeşitleri nelerdir?

Cevap

Rassal değişkenler, aldıkları değerlere göre kesikli (discrete) ya da sürekli (continuous) olarak adlandırılırlar. Değer kümesi; • Sayılabilir (countable) olan rassal değişkenler kesikli, • Sayılamayan (uncountable) olan rassal değişkenler ise sürekli olarak isimlendirilir.


20. Soru

Rassal değişken nedir?

Cevap

Rassal değişken, tanım kümesi örnek uzay (sample space-S), değer kümesi ise reel sayılar (R)olan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir.


21. Soru

3 kez atılan bir para için örnek uzay kümesini (S) tanımlayınız.

Cevap

Para ya yazı ya tura geleceğine göre S=(YYY, TTT, YTT, TYY, YTY, TYT, YYT, TTY) olmak üzere 8 elemanlı bir kümeden oluşur.


22. Soru

Kesikli ve sürekli değişken kavramlarını açıklayınız, birer örnek veriniz.

Cevap

Değerkümesi sayılabilir(countable)olan rassaldeğişkenler kesikli, sayılamayan(uncountable)olan rassal değişkenler ise sürekli olarak isimlendirilir. Örneğin insanların boyu sürekli bir değişken iken, insanların yaşı kesikli bir değişkendir.


23. Soru

Olasılık dağılımı kavramını açıklayınız.

Cevap

Olasılık dağılımı (probability distribution), P(X= x), X kesikli rassal değişkeninin aldığı değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkları ifade eder.


24. Soru

Tanım kümesi (1,2,3) olan X kesikli değişkeni için P(X=x)=x/6 bir olasılık dağılımı mıdır?

Cevap

x=1 için P(X=x)= 1/6<1

x=2 için P(X=x)= 2/6<1

x=3 için P(X=x)= 3/6<1

Toplam P(X=x)=1/6+2/6+3/6=1

olduğuna göre P(X=x) fonksiyonu gerekli iki koşulu da sağladığından bir dağılım fonksiyonudur.


25. Soru

Aşağıda olasılık dağılımı verilmiş X değişkeni için P(1<X<4)=?

X=x

0

1

2

3

4

P(X=x)

0.1

0.2

0.2

0.3

0.2

Cevap

1<X<4 ise X=2 ve X=3 değerlerini esas alacağız. Bu durumda:

P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5 olacaktır.


26. Soru

Bernoulli dağılımını tanımlayınız.

Cevap

İki sonucu olan bir deneyi (Bernoulli denemesi) modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır. Genellikle, bu sonuçlar “başarı(success)” ve “başarısızlık(failure)” olarak isimlendirilir. Xrassal değişkeni “başarı”durumunda 1, “başarısızlık”durumunda ise 0 değerini alır. Bernoulli denemesinin başarı ile sonuçlanma olasılığı “p”, başarısızlıkla sonuçlanma olasılığı “1-p” dir.


27. Soru

Arka arkaya 4 kez atılan bir paranın en az 3 kez yazı gelme olasılığı nedir?

Cevap

En az 3 kez yazı gelmesi demek 3 kez veya 4 kez yazı gelmesi demektir. İlk önce 3 kez yazı gelme olasılıklarını yazalım:

TYYY, YTYY, YYTY, YYYT

Şimdi de 4 kez yazı gelme olasılığını yazalım:

YYYY

O zaman istediğimiz durumları küme olarak yazarsak:

(TYYY, YTYY, YYTY, YYYT, YYYY) olacaktır. Dikkat ederseniz bu kümenin her bir elemanının gelme olasılığı eşit ve (1/2)4 = 1/16 dır. Küme 5 elemanlı olduğuna göre olasılık 5*1/16=5/16 dır.

Alternatif olarak P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)*(1/2)3*(1/2)1+C(4,4)(1/2)4*(1/2)0= 4*1/16+1*1/16=5/16 çözümü de yapılabilir.


28. Soru

Binom dağılımını tanımlayınız.

Cevap

Binom dağılımı, n tane bağımsız ve aynı dağılımlı (independently and identically distributed) Bernoulli rassal değişkeninden elde edilen başarı sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır.


29. Soru

Uzaya gönderilen bir uydunun parçalanmadan atmosferi geçme olasılığı 0,8 ise uzaya gönderilen 5 uydunun en az 3’ünün parçalanmadan atmosferi geçme olasılığı nedir?

Cevap

Aradığımız olasılık P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C(5,3)*0.83*0.22+C(5,4)*0.84*0.21+C(5,5)*0.85*0.20 =10*0.83*0.22+5*0.84*0.21+0.85 = (184*83)/105=0.9421


30. Soru

Poisson dağılımı hangi durumlar için uygundur?

Cevap

Poisson dağılımı, bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır


31. Soru

Anadolu üniversitesi kavşağında ayda ortalama 4 kaza olmaktadır. Öyleyse önümüzdeki ay bu kavşakta en az 2 kaza olma olasılığı nedir?

Cevap

Bizden istenen olasılık P(x>1)’dir.

Yani P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=?

Bir olay dizaynında bütün olasılıkların toplamı 1’e eşittir. Bu durumda:

P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=1

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=1-P(x=0)+P(x=1) olacaktır. Yani ayda en az 2 kaza olma olasılığı ile ayda en fazla 1 kaza olma olasılıklarının toplamı 1’e eşittir. Bu olasılıklardan ikincisini hesaplamak daha pratik ve kolay olduğundan en fazla 1 kaza olma olasılığını hesaplayalım:

P(x=0)+P(x=1)=((e-440)/0!)+((e-441)/1!)=e-4+4e-4=5e-4=0.018

Yani ayda en fazla 1 kaza olma olasılığı 0.018’dir. Bu durumda ayda en az 2 kaza olma olasılığı:

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=1-P(x=0)+P(x=1)=1-0.018=0.98 olacaktır.


32. Soru

Binom dağılımı hangi durumlarda Poisson dağılımına yakınsar?

Cevap

n‘in yeterince büyük olduğu durumlarda, Poisson dağılımından elde edilen olasılıklar, Binom dağılımından elde edilen olasılıklara yaklaşık olarak eşit, n değeri sonsuza yaklaşırken ise tam olarak eşittir. Uygulama problemlerinde, Binom dağılımının, Poisson dağılımına yakınsama özelliğini kullanabilmek için ?=np? 7 koşulunun sağlanması gerektiği genel kabul görmüştür.


33. Soru

Aşağıda dağılımı verilmiş X değişkeninin beklenen değeri (ortalaması) nedir?

X=x

0

1

2

3

4

P(X=x)

0.1

0.2

0.2

0.3

0.2

Cevap

E(x)=Toplam(x*P(x))=0*0.1+1*0.2+2*0.2+3*0.3+4*0.2=08+0.9+0.2+0.4=2.3


34. Soru

Aşağıda dağılımı verilmiş X değişkeninin varyansı nedir?

X=x

0

1

2

3

4

P(X=x)

0.1

0.2

0.2

0.3

0.2

Cevap

Varyans=E(x2)-E(x)2=0.1*02+0.2*12+0.2*22+0.3*32+0.2*42-2.32=1.61


35. Soru

Bir kavşakta ayda ortalama 10 kaza oluyorsa, bu kavşaktaki kazaların varyansı nedir?

Cevap

Poisson dağılımları için

Ortalama: µ= E(X)=?

Varyans:?2= V(X)= ? olduğundan bu kavşaktaki kazaların varyansı ve ortalaması eşittir ve 10’dur.


1. Soru

Çalışan bir kişinin gar dolabında 3 farklı renkte pantolon, 4 farklı renkte gömlek ve 2 farklı renkte kravat vardır. Bu kişinin evden çıkarken giyebileceği kaç farklı durum vardır?

Cevap

3.4.2 = 24 farklı şekilde giyinebilir.

2. Soru

Bir kez atılan bir zar deneyinde A örnek uzayında hangi noktalar oluşur?

Cevap

A = {1,2,3,4,5,6}

3. Soru

Verideki homojenlik veya heterojenlik neyi gösterir?

Cevap

Varyans değeri büyük ise verideki değerlerin birbirinden oldukça farklı (heterojen); varyans küçük ise verideki değerlerin birbirine benzer (homojen) olduğu söylenir.

4. Soru

Sürekli rassal değişkenler için kullanılabilecek örnekler nelerdir?

Cevap

Örnekler şöyle sıralanabilir: • Öğrencilerin boy uzunlukları, • Yarışmacıların 100 metreyi koşma süreleri, • Domateslerin ağırlığı, • Rüzgarın hızı, • Havanın sıcaklığı (diğerlerinden farklı olarak negatif değerler de alır) gibi ölçme yardımıyla bulunan/hesaplanan değerler alır.

5. Soru

Bernoulli dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Cevap

İki sonucu olan bir deneyi modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır.

6. Soru

Olasılık dağılımı ne demektir?

Cevap

Olasılık dağılımı, P(X=x), X kesikli rassal değişkeninin aldığı değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkları ifade eder.

7. Soru

Bir zar ve bir para aynı anda atılıyor. Örnek uzayında kaç farklı nokta oluşur.

Cevap

Zar için 6 farklı nokta, para için (Y,T) olmak üzere 2 farklı nokta oluşur. Bu noktalar şu şekildedir: {(1,Y),(2,Y),(3,Y),(4,Y),(5,Y), (6,Y),(1,T),(2,T),(3,T), (4,T),(5,T), (6,T)}

8. Soru

Binom dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Cevap

Binom dağılımı, n tane “bağımsız ve aynı dağılımlı” Bernoulli rassal değişkeninden elde edilen başarı sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır. Burada aynı dağılımlı kelimesi, her bir Bernoulli denemesi için başarı (ya da başarısızlık) olasılığının aynı kaldığı anlamındadır.

9. Soru

Kesikli rassal değişkenin (x) alabileceği değerler nelerdir?

Cevap

Alacağı değerler şöyle sıralanabilir: • x=0,1 • x= 0,1,2,… • x= k,k+1,k+2,k+3, … gibi tam sayı değerler alırlar.

10. Soru

Verideki homojenliğin (ya da heterojenliğin) ifadesi olarak adlandırılan değere ne denir?

Cevap

Verideki homojenliğin (ya da heterojenli¤in) bir ifadesi olan değişken varyans olarak adlandırılır. V(X) sembolü ile gösterilir.

11. Soru

Poisson dağılımı kullanılarak modelleme yapılabilecek olaylara ne gibi örnekler verebiliriz?

Cevap

• Dünyaya, bir haftada (birim zaman) düşen göktaşı sayısı, • Bir kavşakta, altı ayda (birim zaman) meydana gelen trafik kazası sayısı, • Bir maden ocağında, bir yılda (birim zaman) meydana gelen ve yaralanmayla sonuçlanan kaza sayısı, • Bir metre (birim uzunluk) uzunluğunda, bir çelik halattaki üretimden kaynaklanan hata sayısı, • İki dönüm (birim alan) büyüklüğünde bir domates serasındaki hastalıklı fide sayısı, • 1/2 metreküp (birim hacim) büyüklüğünde bir akvaryumdaki hasta Japon balığı sayısı. Örneklerden de anlaşılabileceği üzere, Poisson dağılımı nadir (seyrek) gerçekleşen olayların modellenmesinde kullanılan bir dağılımıdır

12. Soru

Verinin konumunun ve değişkenliğinin ölçüsü olarak kullanılan değerler nelerdir?

Cevap

Ortalama ve varyans, sırasıyla verinin konumunun (location) ve değilkenliğinin (variation) birer ölçüsü olarak kullanılırlar. Ortalama yerine beklenen değer ifadesi de kullanılır.

13. Soru

Rassal değişken nedir?

Cevap

Rassal bir olayın (yada deneyin) sonuçlarını, sayısal değerlerle ifade eden değişkene rassal değişken (random variable) denir.

14. Soru

Poisson dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Cevap

Poisson dağılımı, olasılık ve istatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan kesikli bir dağılımdır. Bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılır. İlgilenilen aralık uzunluğu, bir “birim” olarak ifade edilirse zamanla ilgili aralıklar “birim zaman”, uzayla ilgili aralıklar ise “birim uzay” olarak ifade edilir. • Birim zamana örnek olarak; • Bir hafta, • Altı ay, • Bir yıl örnek verilebilir. • Birim uzaya örnek olarak ise; • Bir metre (uzunluk), • Bir dönüm (alan), • 1/2 metre küp (hacim) vb. örnek verilebilir.

15. Soru

Aynı anda iki zar atılıyor. Bu deney de A olayı, üste gelen sayıların toplamının 7 olması olarak tanımlansın. A olayının kümesinin elemanları nelerdir?

Cevap

A = {(1,6), (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}

16. Soru

Kesikli rassal değişkenler için kullanılabilecek örnekler nelerdir?

Cevap

• Bir kutudaki kusurlu kalem sayısı, • Atış poligonunda hedefe yapılan isabetli atış sayısı, • Bir kavşakta meydana gelen trafik kazalarının sayısı, • Para atma deneyinde tura gelinceye kadar yapılan atış sayısı, • Bir büfeye gün içinde gelen müşteri sayısı gibi tam sayı değer alan örnekler olabilir.

17. Soru

Olasılık ve İstatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan olasılık dağılımlarına örnek veriniz.

Cevap

Literatürde rassal değişkenleri modellemek için kullanılan bir çok olasılık dağılımı vardır. Olasılık dağılımları, kesikli dağılım olarak adlandırılır. Yaygın olarak kullanılan kesikli dağılımlar şöyle sıralanabilir: • Bernoulli Dağılımı, • Binom Dağılımı, • Poisson Dağılımı

18. Soru

Aşağıda tanımlanan rassal değişkenlerin hangilerinin kesikli, hangilerinin sürekli olduğunu belirleyiniz.

Cevap

1. Bir kütüphaneye gelen öğrenci sayısı: Tek tek sayılabilir. Kesikli değişkendir. 2. Bir markette para ödemek için bekleyen müşterilerin hizmet alma süresi: Hizmet alma süresini ölçerek bulmak zorunda olduğu için sürekli değişkendir. 3. Bir apartmandaki ailelerin aylık doğal gaz tüketimi: Aylık tüketimin ölçerek bulunması gerekir. Sürekli değişkendir. 4. Antalya Gazipaşa’ya havayoluyla gelen yabancı turist sayısı: Tek tek sayılabilir olduğu için kesikli değişkendir. 5. Negatif değerler alabilen sürekli rassal değişkene örnek veriniz: Hava sıcaklığı değerleri, hem negatif değerler alır, hem de ölçme yardımıyla bulunabilen değerlerdir.

19. Soru

Rassal değişkenin çeşitleri nelerdir?

Cevap

Rassal değişkenler, aldıkları değerlere göre kesikli (discrete) ya da sürekli (continuous) olarak adlandırılırlar. Değer kümesi; • Sayılabilir (countable) olan rassal değişkenler kesikli, • Sayılamayan (uncountable) olan rassal değişkenler ise sürekli olarak isimlendirilir.

20. Soru

Rassal değişken nedir?

Cevap

Rassal değişken, tanım kümesi örnek uzay (sample space-S), değer kümesi ise reel sayılar (R)olan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir.

21. Soru

3 kez atılan bir para için örnek uzay kümesini (S) tanımlayınız.

Cevap

Para ya yazı ya tura geleceğine göre S=(YYY, TTT, YTT, TYY, YTY, TYT, YYT, TTY) olmak üzere 8 elemanlı bir kümeden oluşur.

22. Soru

Kesikli ve sürekli değişken kavramlarını açıklayınız, birer örnek veriniz.

Cevap

Değerkümesi sayılabilir(countable)olan rassaldeğişkenler kesikli, sayılamayan(uncountable)olan rassal değişkenler ise sürekli olarak isimlendirilir. Örneğin insanların boyu sürekli bir değişken iken, insanların yaşı kesikli bir değişkendir.

23. Soru

Olasılık dağılımı kavramını açıklayınız.

Cevap

Olasılık dağılımı (probability distribution), P(X= x), X kesikli rassal değişkeninin aldığı değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkları ifade eder.

24. Soru

Tanım kümesi (1,2,3) olan X kesikli değişkeni için P(X=x)=x/6 bir olasılık dağılımı mıdır?

Cevap

x=1 için P(X=x)= 1/6<1

x=2 için P(X=x)= 2/6<1

x=3 için P(X=x)= 3/6<1

Toplam P(X=x)=1/6+2/6+3/6=1

olduğuna göre P(X=x) fonksiyonu gerekli iki koşulu da sağladığından bir dağılım fonksiyonudur.

25. Soru

Aşağıda olasılık dağılımı verilmiş X değişkeni için P(1<X<4)=?

X=x

0

1

2

3

4

P(X=x)

0.1

0.2

0.2

0.3

0.2

Cevap

1<X<4 ise X=2 ve X=3 değerlerini esas alacağız. Bu durumda:

P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5 olacaktır.

26. Soru

Bernoulli dağılımını tanımlayınız.

Cevap

İki sonucu olan bir deneyi (Bernoulli denemesi) modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır. Genellikle, bu sonuçlar “başarı(success)” ve “başarısızlık(failure)” olarak isimlendirilir. Xrassal değişkeni “başarı”durumunda 1, “başarısızlık”durumunda ise 0 değerini alır. Bernoulli denemesinin başarı ile sonuçlanma olasılığı “p”, başarısızlıkla sonuçlanma olasılığı “1-p” dir.

27. Soru

Arka arkaya 4 kez atılan bir paranın en az 3 kez yazı gelme olasılığı nedir?

Cevap

En az 3 kez yazı gelmesi demek 3 kez veya 4 kez yazı gelmesi demektir. İlk önce 3 kez yazı gelme olasılıklarını yazalım:

TYYY, YTYY, YYTY, YYYT

Şimdi de 4 kez yazı gelme olasılığını yazalım:

YYYY

O zaman istediğimiz durumları küme olarak yazarsak:

(TYYY, YTYY, YYTY, YYYT, YYYY) olacaktır. Dikkat ederseniz bu kümenin her bir elemanının gelme olasılığı eşit ve (1/2)4 = 1/16 dır. Küme 5 elemanlı olduğuna göre olasılık 5*1/16=5/16 dır.

Alternatif olarak P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)*(1/2)3*(1/2)1+C(4,4)(1/2)4*(1/2)0= 4*1/16+1*1/16=5/16 çözümü de yapılabilir.

28. Soru

Binom dağılımını tanımlayınız.

Cevap

Binom dağılımı, n tane bağımsız ve aynı dağılımlı (independently and identically distributed) Bernoulli rassal değişkeninden elde edilen başarı sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır.

29. Soru

Uzaya gönderilen bir uydunun parçalanmadan atmosferi geçme olasılığı 0,8 ise uzaya gönderilen 5 uydunun en az 3’ünün parçalanmadan atmosferi geçme olasılığı nedir?

Cevap

Aradığımız olasılık P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C(5,3)*0.83*0.22+C(5,4)*0.84*0.21+C(5,5)*0.85*0.20 =10*0.83*0.22+5*0.84*0.21+0.85 = (184*83)/105=0.9421

30. Soru

Poisson dağılımı hangi durumlar için uygundur?

Cevap

Poisson dağılımı, bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır

31. Soru

Anadolu üniversitesi kavşağında ayda ortalama 4 kaza olmaktadır. Öyleyse önümüzdeki ay bu kavşakta en az 2 kaza olma olasılığı nedir?

Cevap

Bizden istenen olasılık P(x>1)’dir.

Yani P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=?

Bir olay dizaynında bütün olasılıkların toplamı 1’e eşittir. Bu durumda:

P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=1

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=1-P(x=0)+P(x=1) olacaktır. Yani ayda en az 2 kaza olma olasılığı ile ayda en fazla 1 kaza olma olasılıklarının toplamı 1’e eşittir. Bu olasılıklardan ikincisini hesaplamak daha pratik ve kolay olduğundan en fazla 1 kaza olma olasılığını hesaplayalım:

P(x=0)+P(x=1)=((e-440)/0!)+((e-441)/1!)=e-4+4e-4=5e-4=0.018

Yani ayda en fazla 1 kaza olma olasılığı 0.018’dir. Bu durumda ayda en az 2 kaza olma olasılığı:

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+….=1-P(x=0)+P(x=1)=1-0.018=0.98 olacaktır.

32. Soru

Binom dağılımı hangi durumlarda Poisson dağılımına yakınsar?

Cevap

n‘in yeterince büyük olduğu durumlarda, Poisson dağılımından elde edilen olasılıklar, Binom dağılımından elde edilen olasılıklara yaklaşık olarak eşit, n değeri sonsuza yaklaşırken ise tam olarak eşittir. Uygulama problemlerinde, Binom dağılımının, Poisson dağılımına yakınsama özelliğini kullanabilmek için ?=np? 7 koşulunun sağlanması gerektiği genel kabul görmüştür.

33. Soru

Aşağıda dağılımı verilmiş X değişkeninin beklenen değeri (ortalaması) nedir?

X=x

0

1

2

3

4

P(X=x)

0.1

0.2

0.2

0.3

0.2

Cevap

E(x)=Toplam(x*P(x))=0*0.1+1*0.2+2*0.2+3*0.3+4*0.2=08+0.9+0.2+0.4=2.3

34. Soru

Aşağıda dağılımı verilmiş X değişkeninin varyansı nedir?

X=x

0

1

2

3

4

P(X=x)

0.1

0.2

0.2

0.3

0.2

Cevap

Varyans=E(x2)-E(x)2=0.1*02+0.2*12+0.2*22+0.3*32+0.2*42-2.32=1.61

35. Soru

Bir kavşakta ayda ortalama 10 kaza oluyorsa, bu kavşaktaki kazaların varyansı nedir?

Cevap

Poisson dağılımları için

Ortalama: µ= E(X)=?

Varyans:?2= V(X)= ? olduğundan bu kavşaktaki kazaların varyansı ve ortalaması eşittir ve 10’dur.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.