Matematik 1 Dersi 2. Ünite Sorularla Öğrenelim

Fonksiyon nasıl tanımlanır?

Tanım kümesi ve değer kümesi diye adlandırılan iki küme bulunmalıdır. Her iki küme de boş küme olmamalıdır. Tanım kümesinden alınan her bir eleman değer kümesindeki bir elemana tanımlanırsa, buna fonksiyon denir.

Herhangi bir f fonksiyonu için tanım kümesinden alınan bir x elemanına karşılık gelen elemana ne ad verilir?

X’in f altındaki görüntüsü adı verilir ve f(x) olarak gösterilir.

Tanım kümesindeki bütün elemanların görüntülerinin oluşturduğu kümeye ne ad verilir?

Tanım kümesindeki bütün elemanların görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir.

Bir fonksiyonun değer kümesi ve görüntü kümesi arasındaki ilişki nedir?

Bir fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir.

f fonksiyonunun değer kümesi ve görüntü kümesi birbirine eşitse, bu fonksiyon için ne söylenebilir?

Herhangi bir f fonksiyonunun değer kümesi ve görüntü kümesi birbirine eşitse, bu fonksiyona örten fonksiyon adı verilir.

Herhangi bir f fonksiyonun değer kümesi alfabedeki harfleri içermektedir. Fonksiyonun görüntü kümesinde ise alfabedeki sesli harfler yer alıyorsa, bu fonksiyon için ne söylenebilir ?

Bu fonksiyon örten bir fonksiyon değildir. Örten bir fonksiyonda değer kümesi ve görüntü kümesi birbirine eşittir.

Fonksiyon olmayan bir örnek veriniz?

Tanım kümesi A, alfabemizdeki harflerinin kümesi, değer kümesi İlköğretim sözlüğünde yer alan kelimelerin kümesi olsun. A’dan alınan bir harfi S’de o harfle başlayan kelimelere eşitleyelim. Bu fonksiyon tanım kümesindeki herhangi bir değeri, değer kümesinde birden fazla değere eşitlediği için fonksiyon olamaz.

Bir f fonksiyonunun değer kümesi boş kümeyse, fonksiyonla ilgili ne söylenebilir?

f matematiksel olarak bir fonksiyon değildir. Tanım kümesindeki bütün değerlere karşılık hiç bir değer olmamaktadır.

Bire-bir fonksiyon nedir?

f A’dan B’ye bir fonksiyon olsun x, y A’nın içinde birbirinden farklı elemanlar olduğunu varsayalım. Eğer bütün farklı x ve y’ler için f(x) ve f(y) birbirine eşit değilse, bu fonksiyona bire-bir fonksiyon denir.

Bire-bir ve örten bir f fonksiyonunun ters fonksiyonu var mıdır?

Görüntü kümesindeki her bir elemanı, tanım kümesindeki bir değere karşılık getiren fonksiyona f’in tersi adı verilir. Bu nedenle, bire-bir ve örten bir fonksiyonun tersi vardır.

Birim fonksiyon nedir?

Değer ve tanım kümeleri birbirine eşitse ve f(x)=x ise, f fonksiyonuna birim fonksiyon denir.

Tanım kümesi Türkiye’deki illerin isimleri olan ve x bir il iken, f(x)=ilin.plaka.numarası ise, fonksiyonun görüntü kümesi ne olur?

Görüntü kümesi {1,2,….,80,81} olur. Türkiye’de en fazla il sayısı 81’dir.

Tanım kümesi Türkiye’deki illerin isimleri ve değer kümesi plaka numaraları {1,2,….,80,81} olan fonksiyonun ters fonksiyonu nedir?

Ters fonksiyonda tanım kümesi plaka numaraları ve görüntü kümesi Türkiye’deki illerin isimleridir. Fonksiyon, plaka numaralarını alarak, il isimlerini getirir.

Tanım kümesi Türkiye’deki illerin isimleri ve değer kümesi plaka numaraları {1,2,….,80,81} olan fonksiyonun türü nedir?

Tanım kümesindeki her bir elemana karşılık, görüntü kümesinde sadece bir eleman bulunduğu için fonksiyon bire-bir fonksiyondur.

f(x)=x ve g(x)=2x ise f ve g’nin toplam fonksiyonu nedir?

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x + 2x = 3x.

f(x)=x fonksiyonunu 5 kez toplayarak elde edilen g(x) fonksiyonu nedir?

g(x)=f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+f(x)=5x.

f(x)=x fonksiyonunu 5 kez kendisiyle çarparak elde ettiğimiz g(x) fonksiyonu nedir?

g(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)=x⁵.

Bir inç 2.54 cm olduğuna göre, inç değerini santimetreye dönüştüren f fonksiyonu nedir?

f(x)=2.54x

Bir karenin alanını hesaplayan g fonksiyonu, f(x)=x fonksiyonu kullanılarak nasıl bulunur?

g(x)=f(x)f(x) =x².

Bir dairenin alanını hesaplayan g fonksiyonu, f(r)=r fonksiyonu kullanılarak nasıl bulunur?

g(r)=3.14f(r)f(r) =r².

f(x)=x fonksiyonunu kullanarak, g(x)=0 sabit fonksiyonu nasıl bulunur?

f(x)=x fonksiyonu kendisinden çıkararak, g(x) = f(x) – f(x) =0 sabit fonksiyonu bulunur.

f(x)=x fonksiyonu kullanılarak g(x)=1/x fonksiyonu nasıl bulunur?

Yeni bir fonksiyon, örneğin h(x)=1 sabit fonksiyonu tanımlanır ve g(x)=h(x)/f(x) hesaplanarak g(x)=1/x fonksiyonu bulunur.

f(x)=x² fonksiyonun ters fonksiyonu nedir?

Örneğin, a ve –a değerleri için f(x)=a2 değerini verir. Buna göre tanım kümesindeki iki farklı değer, görüntü kümesindeki bir değere karşılık gelmektedir. Bu nedenle, ters fonksiyona verilen a2 değerine karşılık olarak, -a ve +a olarak iki değer vereceği için ters fonksiyonu bulmak mümkün değildir.

Kartezyen koordinat sistemini tanımlayınız.

Önce düzlemde birbirine dik ve 0 (sıfır) noktalarında kesişen iki sayı doğrusu alıyoruz. Genelde bu doğrulardan birini yatay konumda ve artış yönü sağa olacak şekilde, diğerini ise düşey konumda ve artış yönü yukarı doğru olacak şekilde seçiyoruz. Yatay sayı doğrusuna x ekseni düşey sayı doğrusuna y ekseni adı verilir.

Kartezyen koordinat sisteminde (a,b) olarak gösterilen P adresinin bileşenlerini açıklayınız?

Düzlemdeki P adresi (a,b) sıralı ikilisidir. A’ya bu noktanın apsisi, b’ye ise P noktasının ordinatı denir.

A ⊂ R olmak üzere f: A → R, A kümesi içinde yer alan x,y noktaları için, eğer x < y ve f(x) artan bir fonksiyon ise, f(x) ve f(y) arasındaki ilişki nedir?

Artan fonksiyonlarda, f(x)<f(y) olmalıdır.

A ⊂ R olmak üzere f: A → R, A kümesi içinde yer alan x,y noktaları için, eğer x < y ve f(x) azalan bir fonksiyon ise, f(x) ve f(y) arasındaki ilişki nedir?

Azalan fonksiyonlarda, f(x>)f(y) olmalıdır.

Birebir fonksiyon neye denir?

f A’dan B’ye bir fonksiyon olsun. x, y eleman A ve X eşit değildir B iken f(x) eşit değildir f(y) ise f’e birebir fonksiyon denir. 

f(5)=3 ise f^-1(3)=?

f : A › B, y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.

f^-1 : B › A, x = f^-1(y) bağıntısına, (B den A ya olan bağıntıya) f nin ters fonksiyonu denir. Dolayısıyla f^-1(3)=5’dir.

Bileşke fonksiyon nedir? Açıklayınız.

f : A › B,                 y = f(x)

g : B › C,                z = g(y) olmak üzere

gof : A › C,

(gof)(x) = g(f(x)) fonksiyonuna f ile g’nin bileşke fonksiyonu denir ve gof diye yazılır. (gof : Yazılışı g bileşke f diye okunur.)

Bileşke fonksiyon işleminin özellikleri nelerdir?

• Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog ? gof
• Bileşke işleminin değişme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh
• I birim fonksiyon olmak üzere, foI = lof = f dir.
• fof^-1 = f^-1of = I dir.
• (fog)^-1 = g^-1of^-1 dir.
• (f^-1)^-1 = f dir.

f={(x,y):y=3x–4;x?R,y?R} bağıntısı bir fonksiyon mudur?

?x?R için y=3x–4?R olduğundan f bağıntısı bir fonksiyondur.

A={–3,–2,–1,0,1} 
f:A›R
x›y=f(x)=1+xx–2 fonksiyonu veriliyor.
f(A) görüntü kümesini ve f bağıntısının elemanlarını yazınız

f:R›R,f(4)=5,f(x+2)=xf(x)–3
olduğuna göre f(8) kaçtır? 

f(6)=f(4+2)=4f(4)–3=4·5–3=17
f(8)=f(6+2)=6f(6)–3=6·17–3=99

f(x)=4+f(x–1) ve f(1)=3 ise 
f(15) kaçtır?

f(x)=x²+1 fonksiyonu birebir bir fonksiyon mudur?

f(x) fonksiyonu birebir değildir çünkü görüntü kümesindeki her bir eleman tanım kümesindeki tek bir x ile eşleşmez.
Örneğin x yerine 2 veya –2 , f(2)=5 f(–2)=5 , koyduğumuzda fonksiyondan çıkan sonuç 5 olur, tanım kümemizdeki iki değerin de değer kümesindeki görüntüsü aynıdır, bu yüzden birebir değildir.